ניסוי מקרי: ניסוי שיש לו מספר תוצאות אפשריות ואי-אפשר לדעת מראש באיזה תוצאה יסתיים הניסוי.

1 תורת ההסתברות מהי? העולם שבו אנחנו חיים הוא עולם של אי-ודאות. מכיוון שאין לנו דרך לקבוע בוודאות את תוצאותיו של תהליך אקראי, אנו מנסים לצמצם את אלמנט אי-הודאות ולהעריך את הסיכויים של התוצאות האפשריות השונות, כך שנוכל לקבל החלטות טובות ככל שרק ניתן. הסתברות: תורה מתמטית העוסקת במצבים של אי-ודאות. מושגים בסיסיים: ניסוי מקרי: ניסוי שיש לו מספר תוצאות אפשריות ואי-אפשר לדעת מראש באיזה תוצאה יסתיים הניסוי. מרחב המדגם: על-ידי Ω. אוסף כל התוצאות האפשריות של הניסוי נקרא מרחב המדגם והוא מסומן דוגמאות: א. ניסוי: הטלת קוביה. ב. ניסוי: מטילים מטבע פעמיים. מהו מרחב המדגם? ג. ניסוי: מספר השיחות הנכנסות ביום במוקד 601. ד. מהו משקלה של אישה מסוימת? מאורע פשוט: מאורע פשוט הוא תוצאה אחת של מרחב המדגם, והוא לרוב מסומן ב e. דוגמא: בדוגמת הקוביה: }6} הוא מאורע פשוט, וכך גם }3}. מאורע: אוסף חלקי כלשהו של תוצאות אפשריות נקרא מאורע. נסמן אנגליות גדולות,C,B,A... מאורע ריק :מאורע שאינו מכיל אף תוצאה ממרחב המדגם.סימון. Φ מאורע באותיות

2 דוגמאות: 6. בניסוי של הטלת קובייה נגדיר את המאורעות הבאים A התוצאה גדולה מ 4 B התוצאה אי זוגית C התוצאה זוגית D -התוצאה גדולה מ 7 E -התוצאה גדולה מאפס אומרים שמאורע A התרחש,אם הניסוי הסתיים בתוצאה שכלולה ב. A מאורע ריק זה מאורע בלתי אפשרי אף פעם אינו מתרחש. Ω מאורע וודאי תמיד מתרחש פעולות על מאורעות יהיו A ו B מאורעות. איחוד: האיחוד של A ו B מסומן ע"י A B הוא המאורע המורכב מכל תוצאות הניסוי השייכות ל A או ל B )או לשניהם(. איחוד מאורעות מתרחש אם לפחות אחד מהמאורעות שבאיחוד מתרחש חיתוך: החיתוך של A ו B, מסומן ע"י A B הוא המאורע המורכב מכל תוצאות הניסוי השייכות גם ל A וגם ל B. חיתוך מאורעות מתרחש אם כל המאורעות שבחיתוך מתרחשים מאורעות זרים: מאורעות A ו B נקראים זרים אם.A B=Ф

3 מאורעות זרים לא יכולים להתרחש בו-זמנית )מכיוון שאין להם תוצאות משותפות(. משלים: המשלים של A מסומן ע"י A )או A( c האפשריות שאינן שייכות ל A. המשלים של A מתרחש כאשר A אינו מתרחש. והוא מורכב מכל תוצאות הניסוי A A A A A שימו לב: דרך נוספת להמחשה- 2X2 לוח B B A A B A B A A B A B חוקי דה-מורגן: A B A B A B A B

4 דוגמא: I. נבחרה מקרית "מילה" עברית בת 4 אותיות. יהי.i 1,,4 נסח במלים את חוקי דה מורגן עבור מאורעות אלו. -האות ה- i A i היא א'.II מאוכלוסיית הסטודנטים בחוג לכלכלה נבחר סטודנט אחד. נגדיר את המאורעות: A הסטודנט קורא מעריב, B הסטודנט קורא ידיעות אחרונות. C הסטודנט קורא הארץ. השתמש בפעולות איחוד, חיתוך ומשלים בלבד לתיאור המאורעות הבאים: א. הסטודנט אינו קורא הארץ. ב. הסטודנט קורא רק הארץ. ג. הסטודנט קורא בדיוק עיתון אחד )מהעיתונים הנ"ל(. ד. הסטודנט קורא לפחות עיתון אחד )מהעיתונים הנ"ל(. ה. הסטודנט אינו קורא אף עיתון )מהעיתונים הנ"ל(. ו. הסטודנט קורא לפחות שני עיתונים )מהעיתונים הנ"ל(. ז. הסטודנט קורא את כל שלושת העיתונים )הנ"ל(.

5 חיבור בטור (serial) A i רכיבי מערכת מוגדרים כמחוברים בטור אם המערכת פועלת כל עוד כל רכיבי המערכת. פועלים. המערכת אינה תקינה אם לפחות אחד מרכיביה פגום. נגדיר: S המערכת תקינה; רכיב מס' i תקין. בטא את מצב המערכת באמצעות מצבי רכיביה:.. 6 2 n 6 2.. n חיבור במקביל (parallel) רכיבי מערכת מוגדרים כמחוברים במקביל אם המערכת פועלת כל עוד לפחות רכיב אחד פועל. המערכת אינה תקינה רק באם כל רכיביה פגומים. נגדיר: S המערכת תקינה; רכיב מס' i תקין. A i בטא את מצב המערכת באמצעות מצבי רכיביה: מהי הסתברות? קצת היסטוריה: טיפול ראשוני במושגי ההסתברות נעשה על ידי מתמטיקאים צרפתיים, בעיקר Pascal ו,Fermat במאה ה 67 בהקשר להימורים במשחקי מזל, ובפרט בהטלות קובייה )עניינם בנושא התעורר בעקבות פנייתו של המרקיז.(De Mere נסמן ב P{A} את ההסתברות\הסיכוי להתרחשות המאורע A.

6 מהי משמעות המושג "הסתברות", ואיך למצוא\לחשב אותה? גישת השכיחות היחסית ניתן להגדיר את המוסג הסתברות של מאורע באמצעות שכיחותו היחסית. נתאר ניסוי, שמרחב המדגם שלו הוא. נניח שמבצעים ניסוי זה שוב ושוב בתנאים זהים. לכל מאורע A במרחב המדגם נסמן ב- את מספר הפעמים שהמאורע A מתרחש ב- n החזרות על הניסוי, מגדירים את ההסתברות המאורע, A )P ( ההסתברות למאורע מסוים זה הגבול של השכיחות היחסית lim n n כשאנחנו חוזרים על הניסוי מספר רב של פעמים(. דוגמא: הטלת מטבע: ע A 7 ב 60 הטלות התקבל 0.7 n 10 48 ב 600 הטלות התקבל 0.48 n 100 526 ב 6000 הטלות התקבל 0.526 n 1000 5018 ב 60000 הטלות התקבל 0.5018 n 10000 ככל ש מספר ההטלות גדול יותר השכיחויות היחסיות מתיצבות סביב 0.0. לכן מגדירים הסתברות לקבל עץ בהטלת מטבע 0.0 גישה אקסיומטית ) (Kolmogorov.2 הסתברות של מאורע = ערך מספרי המשקף את הסבירות / הסיכוי להתרחשות המאורע. )גדול יותר ככל שיש ביטחון רב יותר שהמאורע אכן יתרחש(. פונקציית הסתברות היא פונקציה המתאימה לכל מאורה A מספר ממשי, מסומן P( המקיים שלוש האקסיומות הבאות:.6 לכל מאורע A ב Ω קיים 1 P( 0 אם B,A מאורעות זרים אז P(A B) = P( + P(B) P(Ω)=1.3 מסקנות: P A 1 P A.6 P P( ) A B P A P B P A B 0.2.3

7 שימו לב: P( היא ההסתברות שהמאורע A לא יתרחש. P(A B( היא ההסתברות ששני המאורעות, - A ו B, יתרחשו בו-זמנית. P(A B( היא ההסתברות שלפחות אחד משני המאורעות, - A ו B, יתרחש. דוגמא 1. במדינה מסוימת 20% מהאוכלוסייה קוראים עיתון בוקר, 10% קוראים עיתון ערב ו- 60% קוראים את שניהם. נבחר אדם באופן מקרי מהאוכלוסייה. מהי ההסתברות ש: א. קורא לפחות עיתון אחד? ב. קורא רק עיתון ערב? ג. קורא רק עיתון אחד? ד. קורא לכל היותר עיתון אחד? ה. אינו קורא אף אחד משני העיתונים?

8 במפעל יש שתי מכונות. ההסתברות שהראשונה תפעל היא 0..0. ההסתברות דוגמא 2. שרק הראשונה תפעל היא 0.04. ההסתברות ששתי המכונות תתקלקלנה היא 0.02. מה ההסתברות ששתי המכונות תפעלנה? א. מה ההסתברות שהמכונה השנייה תפעל? ב. מה ההסתברות שבדיוק אחת משתי המכונות תפעל? ג. מה ההסתברות שלפחות אחת משתי המכונות תתקלקל? ד.

9 חישוב הסתברות איחוד שלושה מאורעות: P( A B C) B) C) A B) A C) B C) A B C) דוגמא: לקוח הנכנס למחלקת החליפות של חנות כלבו יקנה חליפה בהסתברות 0.22, חולצה בהסתברות 0.3 ועניבה בהסתברות 0.20. הלקוח יקנה חליפה וחולצה בהסתברות 0.66, חליפה ועניבה בהסתברות 0.64 וחולצה ועניבה בהסתברות 0.6. הלקוח יקנה את כל 3 הפריטים בהסתברות 0.01. מהי ההסתברות שהלקוח יקנה לפחות פריט אחד?

11 חישוב הסתברות של מאורע: e, 1, e 2, e n נתון P( ) e1 ) e2 ) P( en ) 1 P( P( ei ) e A i אזי, A e, 1, e 2, e k נתון מאורע דוגמא ישנה תחרות בה משתתפים ארבעה אנשים: יונתן, נחמה, יורם, ענת. הסיכויים לזכיה נתונים ע"י: P( (ענת 0.4, P( יורם ) 0.3, P( (נחמה 0.15, P( יונתן ) 0.15 מצא את ההסתברויות המאורעות הבאים: A -ניצח גבר B- בשם המנצח מופיעה האות "נ". האם B,A זרים? מרחב מדגם סימטרי )אחיד( )הסתברות הקלאסית )Pascal- מרחב מדגם סימטרי: מרחב מדגם יקרא "מרחב מדגם סימטרי" אם לכל תוצאה אפשרית במרחב המדגם הסתברות זהה. דוגמא: הטלת קובייה הוגנת שאלה: בהטלת קוביה הוגנת מה ההסתברות שהתוצאה תהיה זוגית? באופן כללי נסמן את מספר התוצאות במאורע A בסימון. במרחב הסתברות סימטרי, ההסתברות של מאורע A שווה למספר התוצאות במאורע A חלקי מספר התוצאות במרחב המדגם: P( n ( )

11 דוגמא: בניסוי של הטלות שתי קוביות אחת אדומה ואחת ירוקה. 1 2 3 4 5 6 1 1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1 2 1,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6,2 3 1,3 2,3 3,3 4,3 5,3 6,3 4 1,4 2,4 3,4 4,4 5,4 6,4 5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 6 1,6 2,6 3,6 4,6 5,6 6,6 מה ההסתברות ש: א. שתי התוצאות זהות? שתי התוצאות שונות? ב. סכום התוצאות שווה ל 7? ג. סכום התוצאות זוגית? ד. מכפלת התוצאות זוגית? הערה: מרחב מדגם לא סימטרי הנו מרחב מדגם בו לא לכל נקודת מדגם סיכוי שווה. ההסתברות במרחב מדגם לא סימטרי נקבעת לפי השכיחות היחסית. דוגמא: בכד 60 כדורים 0 לבנים, 3 אדומים ו- 2 שחורים. מוצאים מהכד כדור באופן מקרי. במרחב המדגם 3 תוצאות אפשריות : אדום,שחור, לבן 5 3 2 לבןP, אדוםP, שחורP 10 10 10